et la période cherchée de l'intégrale (35) est une quantité imaginaire dont le module est voisin de (2N+3) (N + 1)2 (43) NV I+ 14 ( N + 1 ) ( N + 2) et les valeurs de Pour N = 3, c'est-à-dire a, ce nombre est déjà considérable que l'on doit introduire sont fort inférieures. L'étude des périodes de l'intégrale (36) se ferait de la même manière et conduit à des conclusions analogues. Le développement (34) est donc convergent pour toutes les valeurs utiles de la variable σ. Il reste à étudier les deux équations (16). On voit d'abord qu'en posant Si l'on isole ensuite l'inconnue 1, qui est celle qu'il importe le plus d'obtenir, on s'aperçoit qu'elle satisfait à une équation linéaire du second ordre dont les points critiques correspondent ào. L'un d'eux se présente pouro et il est aisé d'en tenir compte dans le développement de 1; les autres, d'après une discussion déjà faite, ne peuvent être atteints, tant que l'on demeure dans le domaine des valeurs utilisables dans la pratique. Le développement de , a lieu selon les puissances fractionnaires de et, d'après ce qui précède, sera toujours convergent dans les conditions où l'on veut l'employer. Un calcul simple montre que ce développement est de la forme (entière en σ') En désignant, pour abréger, par A le coefficient du premier terme dans la série (34) qui représente , je trouve Par des moyens de même nature, on obtiendrait sans difficulté le développement de chacune des fonctions Y; et W¡ et l'on reconnaîtrait que les séries obtenues convergent dans tous les cas que la pratique peut rencontrer. Il resterait à étudier la série d'ensemble, ordonnée suivant les puissances du paramètre w. Il arrive que cette série elle-même est convergente et en voici les raisons : D'abord Y et W se trouvent, d'après ce qui précède, développés formellement en séries ordonnées suivant les puissances du paramètre w, suivant les puissances fractionnaires de et de σ; or, chacune des puissances fractionnaires de est une puissance entière de ; de plus, chacune des puissances de est évidemment développable suivant les puissances entières de '. Il en résulte que, dans les séries (17), 0 = chacune des fonctions Yi, W; est développable en séries de puissances entières de . On doit donc s'attendre à voir le point σ': n'être pas un point singulier pour les solutions des équations différentielles (12) et (13) pour lesquelles y et w s'évanouissent en ce point, et cela de telle façon que tendent vers des limites finies. Si l'on introduit, en effet, comme variable', comme inconnues les deux rapports précédents, dans les deux équations différentielles indiquées, on trouve que toute 36 R. LIOUVILLE. ÉQUATIONS DE LA BALISTIQUE INTÉRIEURE. singularité disparaît au voisinage de 'o. D'après un théorème de M. Poincaré, on en peut conclure que les solutions cherchées sont développables en séries ordonnées suivant les puissances de o, convergentes dans un domaine limité de ce paramètre, mais quelles que soient d'ailleurs lcs valeurs de ' et des constantes initiales, pourvu qu'elles ne correspondent pas, avec la valeur choisie de o, à un point singulier des équations différentielles. La difficulté, dans le cas actuel, est de démontrer que la convergence des séries, établie pour une valeur assez petite de w, est encore vraie pour w=1. Mais, à cause de l'homogénéité, déjà signalée, des divers termes du développement, on peut, en modifiant les constantes initiales, écrire les séries sous la forme de développements ordonnés suivant les puissances entières, non plus de o, mais de w/2, la constante k étant quelconque. Quelle que soit la valeur considérée de o, on pourra déterminer cette constante k de telle manière que le produit w/ soit inférieur au rayon du cercle de convergence supposé de la série en w. La série, ainsi présentée, devra donc être convergente, le changement des constantes initiales ne pouvant s'opposer à cette conclusion; il faut alors que cette série soit toujours convergente. Elle l'est ainsi, en particulier, pour w=1, c'est-à-dire dans le cas qui est intéressant pour notre objet particulier. Paris, avril 1895. SUR LE DOSAGE DE L'AZOTE DANS LES NITRATES, LES ÉTHERS NITRIQUES ET LES DÉRIVÉS NITRÉS PAR LA MÉTHODE DE KJELDAHL; PAR M. L. CHENEL, Chef d'épreuves au Laboratoire central des poudres et salpêtres Deux mémoires de MM. Aubin et Alla, présentés à l'Académie des sciences, le 4 février et le 7 mai 1889, ont confirmé l'exactitude de la méthode de Kjeldahl pour le dosage de l'azote dit organique. D'après les indications de ces chimistes, j'ai obtenu, avec l'urée et le prussiate jaune de potasse, les résultats suivants : S'appuyant sur des essais variés, résumés dans une note adressée à la Société chimique, le 28 février 1890, MM. Aubin et Quénot ont émis l'avis qu'en présence de l'azote sous ses trois formes, organique, ammoniacal et nitrique, il n'y avait pas lieu d' employer directement la méthode Kjeldahl pour doser ce corps en totalité. Cependant, un rapport publié en 1885, dans les Annales de l'Institut agronomique, par M. Kayser, au retour d'une mission en Allemagne, mentionne à la suite de la description du procédé de Kjeldahl, une modification à ce procédé par M. Joldbauer, de Munich, en vue de son application au dosage de l'azote total dans les engrais. Il y est dit : « ooo, 5 de substance finement pulvérisée sont traités par 30° d'acide sulfurique dans lesquels on a fait dissoudre 1, 2 d'acide phénique et o5, 4 d'anhydride phosphorique. On laisse digérer à froid, en agitant fréquemment, jusqu'à dissolution complète. On réduit ensuite en ajoutant graduellement de 3 à 45 de poudre de zinc ordinaire. Il importe de maintenir le ballon dans un bain froid pendant cette réaction, afin d'éviter l'échauffement, surtout s'il y a du chlore. La réduction demande de une heure et demie à deux heures. On ajoute ensuite oг, 7 de mercure et l'on continue comme pour le procédé de Kjeldahl. La présente note résume la vérification de ce procédé et les développements dont il a été reconnu susceptible. Au moment de la dissolution du nitrate dans le mélange acide, le groupe AzO2 se fixe sur le phénol à l'état de mononitrophénol, qui est réduit par le zinc en dérivé amidé, et, pendant la combustion, l'azote de l'amidophénol est fixé à l'état d'ammoniaque. Les réactions successives sont complètes, mais il importe que le phénol soit nitrifié au premier degré. En effet, os, 5 de mononitrophénol dissous dans 30° d'acide sulfurique pur, réduits par 3r de zinc en poudre et brûlés avec '7 de mercure, ont donné pour taux d'azote 10,03 pour 100, le taux théorique étant 10,07; écart = 1 230 La réduction par le zinc du mononitrophénol en dissolution dans l'acide sulfurique donne des résultats exacts. Il n'en est plus de même si l'on tente la réduction de la dissolution sulfurique du trinitrophénol. Le taux d'azote théorique de l'acide picrique 18,34 pour 100; on a trouvé 16,23 et 16,46. = La modification Joldbauer du procédé Kjeldhal, appliquée aux nitrates métalliques, aux nitrates des ammoniaques composées, aux éthers nitriques et aux dérivés nitrés et nitro-amidés de la série aromatique, a donné, avec précision, le taux d'azote total toutes les fois que la substance examinée s'est dissoute complète |