aufmerksam gemacht hatte. Dieser hatte nämlich gefunden, dafs Chlorkalklösungen sich unter Sauerstoffentwickelung rasch zersetzen, wenn sie mit Metalloxyden z. B. mit Hähnen, die auf ihrer Oberfläche oxydirt sind, in Berührung kommen und er schrieb diese Erscheinung der Contactwirkung dieser Metalloxyde zu, weil diese sich nicht dabei verändern. Durch Versuche, die der Verf. hier anstellte, hat er sich überzeugt, dafs Mangansuperoxyd, Eisenoxydhydrat, Kupferoxyd, u. a. Metalloxyde zu einer Chlorkalklösung gesetzt, reichlich Sauerstoff entwickeln, während dies nicht stattfindet wenn man die reine Lösung sich selbst überlässt; wird sie dagegen mit einer Säure z. B. Salpetersäure versetzt, so ändert sich, wie dies besonders Gay-Lusac gezeigt hat, die unterchlorichtsaure Kalkerde in Chlorcalcium und chlorsaure Kalkerde um. Bei einer Temperatur von ungefähr +4° sind Quecksilberoxyd und überschüssige Kalkerde gar nicht, geglühtes Eisenoxyd kaum wirksam, Kupferoxyd sehr wenig, Mangansuperoxyd dagegen wirkt fortdauernd zersetzend, wenn auch nur sehr langsam.

Hierauf trug Hr. Ehrenberg ein Schreiben des Hrn. v. Martius in München an die Akademie, über die sogenannte Stock- oder Weifsfäule der Kartoffeln vor.

Die Frage: ob die sogenannte Stock- oder Weissfäule der Kartoffeln von der Entstehung eines parasitischen Pilzes abhänge, oder nicht, gehöre ganz in dieselbe Kategorie mit jener, ob die Tinea Capitis infantis von der Erzeugung des Pilzes auf dem Kranken zusammenhängt. Für Folge der Krankheit kann Hr. v. M. den Pilz nicht halten. Wolle man ihn nicht als Ursache gelten lassen, so sei er doch wenigstens Correlat der übrigen Krankheits-Erscheinungen. Im Monate October habe er bei Frankenthal in der Pfalz Kartoffeln, noch im Boden, untersucht, an denen man bereits die Anfänge des Pilzes als nesterartig gestellte, weisse Punkte oder Körnchen unter der Oberhaut beobachten konnte. Unter starken Vergrösserungen zeigten diese Körnchen dasselbe Gefüge, wie es in seiner Schrift Fig. 23. Tab. 3. abgebildet. Die Entwickelung dieser Nester zu den hervorbrechenden Schimmelpolstern scheine grofsentheils von der Erhitzung der Kartoffeln im Keller oder den andern Aufbewahrungsorten abzuhängen. Die Erhärtung des Kartoffels durch Einwirkung des Pilzes sei

kein isolirt stehendes Factum, denn bekanntlich mache das Sepedonium mycophilum, wenn es sich auf andern Pilzen ausbildet, diese so hart und fest wie Holz. Höchst merkwürdig sei übrigens in der Entwickelungsgeschichte dieser Krankheit die Art und Weise, wie sie sich in England (wo sie dry Rot heilst), Frankreich und Deutschland ausgebreitet hat. Es treten hier viele Erscheinungen zusammen, welche die Verbreitung und Ausbildung der Krankheit als eine wahre Epidemie darstellen.

12. Januar. Gesammtsitzung der Akademie.

Hr. Weiss hielt einen Vortrag über das Maafs der körperlichen Winkel, nebst einigen Nachträgen zu früheren Abhandlungen.

Wenn die körperliche Ecke im Verhältnifs zur Raumestotalität 8 Würfelecken eben so betrachtet wird, wie der ebne Winkel zu 4 R, so ist sie eines eben so strengen trigonometrischen Ausdruckes fähig, als dieser; was der Fall nicht ist, wenn sie nur im Zahlenwerth der sie einschliefsenden Kanten ausgedrückt wird, da diese Zahlen meist nur Annäherungen sind. Wenn man ferner die übliche Eintheilung des Kreisbogens in 360° u. s. f. auch für die Raumestotalität beibehält (also eine Würfelkante = 90°, eine Würfelecke = 45° = setzt), so lassen sich unsere Sinus- und Tangententafeln unverändert auf die Berechnung der Werthe der körperlichen Winkel nach ihren trigonometrischen Ausdrücken übertragen.

tot. sp.

8

So findet sich u. a. für den Werth der halben Ecke des regulären Octaëders

sin = 13

für die ganze also, cos =

(cos

COS =

für die Summe aller 6 Octaëderecken, 180° + 17.97.191). Der erstere Werth ist genau gleich dem Complement der Tetraederkante zu 90°, oder der Neigung der Octaëderfläche gegen die kleinste Octaëderdimension, d. i. gegen seine rhomboëdrische Axe; sin: cos 1:18; d. i. wie dieser Neigungswinkel sich verhält zu 360°, so die halbe Octaëderecke zur Raumestotalität; u. s. f. Eben deshalb ist u.a. die ganze Octaëderecke genau gleich dem Complement des gewöhn

lichen Zwillingswinkels am Octaëder (des Spinells z. B.) zu 180?.

Für den Ausdruck der Ecke des regulären Tetraëders findet sich, tang = sin: cos: rad√2:5:3√3

für die Summe der 4 Ecken des regulären Tetraëders also

COS =

329

729

7.47

= oder sin cos: rad 20-231/2:329:729.

Die Summe von 3 Ecken des regulären Octaëders ist das Complement dieses Werthes; denn wenn die Octaëderecke, T die Tetraëderecke heifst, so ist

Eben so folgt 2T + 2 0 = 90° = Würfelkante

T + 0 = Würfelecke

4

die Octaëderecke wird aber durch zwei durch gegenüberliegende ihrer Kanten gelegte Ebnen in gleiche Viertel (wie durch eine derselben in Hälften) getheilt; 3 solche Viertel einer Octaëderecke also und eine Tetraëderecke zusammen machen eine Würfelecke aus.

Ferner ist die Octaëderkante o = 20 + 2T

die Tetraederkante = 0+ 2T

daher auch = o — t, u. s. f.

=

Die zweierlei Ecken des Granatdodekaeders haben die interessante Eigenschaft, dafs jede der 8 stumpfen Ecken = 2 Würfelecken = 90°, und jede der 6 scharfen Ecken = 60° = Raumestotalität = Würfelecke ist; daher die Summe seiner sämmtlichen Ecken (2+1) 360° = 3 Raumestotalitäten; die scharfe Ecke des Granatoëders also auch = 0 + ÷ T = 60°; die Tetraëderecke aber, so wie die Würfelecke in 3 gleiche Theile zu zerfällen, bietet sich von selbst dar. Der Vortragende entwickelte ähnliche Lehrsätze über die Werthe der Ecken am Quadratoctaëder, am Rhombenoctaëder, am Rhomboeder, am Dihexaëder. So ist für die halbe Endspitze

A des 4 gliedrigen Octaëders, wenn e die halbe Axe des Körpers, die halbe Seite des Quadrates der Grundfläche heifst,

Er erläuterte ferner die Methode, wie alle diese Lehrsätze auf rein elementar-geometrischem Wege, ohne alle Beihülfe der sphärischen Trigonometrie, den bekannten Lehrsatz derselben über den Werth der körperlichen Ecke mit inbegriffen, auf höchst einfache Weise gefunden werden können.

Um den Werth einer 3 flächigen Ecke E trigonometrisch allgemein auszudrücken, wenn x, y, z die Neigungswinkel ihrer Flächen in den Kanten heifsen, setze man

sin E: cos E: rad Ecs's" + c'ss" + c′′ss' — cc'c":

sc'c+s'ce"+s"cc"

oder sin E =

oder cos E =

- sss":tr'r".

cs's" +c'ss" + c"ss' - ccc"

rrr"

sc'c" + s'ec"+s" cc' - ss's" rrr" c_cs's" +c's s" + c'ss-cec". scc + scc"+s" cc - ss's" wenn man für den vierten Nei9

oder, wenn man will, tang E =

Für eine 4flächige Ecke A, 9 gungswinkel 9 setzt sin cos

2

übrige, wie vorher, erhält man

2

rad =""c"";"", und das

2

sin A:cos A: rad A cs's"s"" +c's s" s""" + c" ss's" + c""' ss's" (sc'c'c"" + s'ec"e" + s" cc'c""+s"" cc'c"): cc's"s"" + c"c""'ss' + cc's's"" + c'c"" ss" + cc""s's" + c'c's s'

"ss""

In der folgenden Gesammtsitzung am 19. dess. M. fügte Hr. Weifs folgende Lehrsätze hinzu:

Bei jedem Tetraëder (oder jeder 3 seitigen Pyramide) ist die Summe der 6 Kanten 360° + der Summe der Ecken.

Bei jedem Octaëder (doppelt 4seitiger Pyramide mit parallelen Flächen) ist die Summe der 12 Kanten = 3 × 360° + der Summe der Ecken.

Bei dem Parallelepiped, wo die Summe der Kanten jederzeit 3 × 360°, die Summe der Ecken = 360° ist, kann man ebenfalls sagen: die Summe seiner Kanten ist = 2.360° + die Summe seiner Ecken; und man hat dann für das

Tetraeder, die Summe der Kanten 360°+ die Summe der Ecken Parallelepiped, " = = 2.360°+ " Octaëder, =3·360°+ "

ท

ท

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งา

Durch diesen Vortrag veranlasst, gelang es Hrn. Steiner, kurz darauf folgenden allgemeinen Satz aufzufinden:

"Man denke sich ein beliebiges Polyëder, bezeichne die An"zahl seiner dreikantigen Ecken durch a, seiner vierkantigen durch "b, seiner fünfkantigen durch c, seiner sechskantigen durch d, "u. s. w., ferner die Summe aller Kanten durch Σk, und die "Summe aller Ecken durch Ze, so erhält man:

Σk = Σe + (a + 2b + 3c + 4d....) 90°.“

Als Nachtrag zu einer früheren Abhandlung von 1829 bemerkte Hr. Weifs in der Gesammtsitzung vom 12. Januar u. a., dafs der Ausdruck eines dort erörterten eigenthümlichen Falles vom Dihexaëder, für welches er a. a. O. den Ausdruck gefunden hatte die Tangente des Neigungswinkels seiner Fläche gegen die Axe sey = V

oder für diesen Neigungswinkel sey sin: cos = in folgender noch einfacherer Gestalt gegeben werden könne: für den nemlichen Winkel ist

Es giebt nemlich unter den verschiedenen möglichen Dibexaëdern theils solche, deren ebner Endspitzenwinkel gröfser ist als der Neigungswinkel der Fläche gegen die Axe, wie das des Quarzes selbst ein solches ist, theils andere, deren ebner Endspitzenwinkel der kleinere von beiden ist. Das erstere hat etwas überraschendes, weil, während die Reihe der Dihexaëder vom schärfsten zum stumpfsten in der Neigung der Fläche gegen die Axe von 0° bis 90° zunimmt, der ebne Endspitzenwinkel nur von 0° bis 60° steigt, also die Vermuthung nahe läge, dass er