halten werden. Denn es entsprechen dieser Form bestimmte Werthe der Coefficienten Mir und Ni, und es muss daher jede Entwickelungsmethode, wenn sie nur auf richtigen Sätzen basirt ist, und Vollständigkeit geben kann, auf dieselben Werthe dieser Coefficienten führen. Es kann sogar am vortheilhaftesten sein, in einem speciellen Falle dieses, und in einem andern jenes Verfahren anzuwenden. Bei der Berechnung der oben angeführten Saturnstörungen des Enckeschen Kometen hat der Verf. zur Entwickelung der Differentialquotienten von 2 dieselbe Zerlegung und dieselben Gröfsen angewandt, welche ihm im Vorhergehenden gedient haben, um die Form zu finden, die man in der vorliegenden Aufgabe der Entwickelung geben muss, um die gröfstmögliche Convergenz hervor zu bringen. Dieses Verfahren hat in diesem Beispiel sehr schnell zum Ziele geführt, denn die Entwickelung der Differentialquotienten von Arbeit verursacht. Die Auseinandersetzung der zu diesem Verfahren nöthigen Formeln muss der Kürze wegen hier übergangen werden, und wir wenden uns daher sogleich zur Erörterung des noch übrigen Theils der vorgelesenen Abhandlung.

hat nur 2 Tage

Der Verf. wendet zur Berechnung der in Rede stehenden Störungen die drei Componenten der störenden Kraft an, von welchen der eine der grofsen, der andere der kleinen Achse der Kometenbahn parallel, und der dritte senkrecht auf die Ebene derselben ist. Diese sind bekanntlich die Differentialquotienten

(da), (d) und (42)

WO x und J dieselbe Bedeutung haben wie oben. Es erhellet aus dem Vorhergehenden, dafs die Entwickelung derselben dieselbe Form hat, wie die der Gröfse selbst. Die Differentiale, durch deren Integration man die Störungen der Coordinaten des gestörten Körpers ermitteln mufs, diese Coordinaten mögen beschaffen sein wie sie wollen, kann man immer auf folgende Form bringen

wo P, Q und R Functionen der elliptischen Elemente und der Coordinaten des gestörten Körpers sind. Da nun in Bezug auf diese Functionen ebenfalls unendliche, nach den Potenzen und Producten der Excentricität und Neigung der Kometenbahn fort

schreitende Reihen vermieden werden müssen, so müssen in der vorliegenden Aufgabe diese Functionen P, Q und R ganze und rationale Functionen von sin u und cos u sein, gleichwie die in der Störungsfunction vorkommenden Functionen. Da nun aber die Beschaffenheit von P, Q und R von der Wahl der Coordinaten abhängt, so ist diese keinesweges gleichgültig. Die Untersuchung der verschiedenen bekannten Ausdrücke für die Differentiale der Coordinaten zeigt, dafs man die wahre Länge und den Radius-Vector nicht als Coordinaten in der vorliegenden Aufgabe wählen kann, denn für diese sind die Functionen P, Q und R keine ganze und rationale Functionen von sin u und' cos u. Richtet man hingegen die. Störungen so ein, dass sie zur mittleren Länge, und zu dem durch Hülfe der gestörten mittleren Länge, oder welches dasselbe ist, durch Hülfe der gestörten wahren Anomalie berechneten elliptischen Werthe des Logarithmus des Radius-Vectors hinzugefügt werden müssen, dann haben die Functionen P, Q und R die verlangte Eigenschaft. Der Verf. hat in seinen Abhandlungen über die Störungstheorie diese Störungen von einem Ausdrucke abhängig gemacht, den er mit T bezeichnet hat. Nimmt man diesen vor, und führt in demselben die obigen Differential quotienten von 2, die excentrische Anomalie u, und die analoge von abhängige, mit v zu bezeichnende Gröfse ein, so geht er in folgenden über

Vie2 3 sin ue sin 2 u-3 sin ve sin (vu)

+esin (~ +u) + sin (v — 2 u)}

a

(a) du

dx

+{e-(3-e2) cos,u+ecos 2 u + 3 cos v — 3 e cos (v — u)

α

(dy) du

— e cos (v + u) + cos (v — 2 u)} woraus ersichtlich ist, dafs diese Gröfse die verlangte Eigenschaft besitzt. Aus den „,Fundamenta nova investigationis" folgt, dafs man, wenn man nur auf die erste Potenz der störenden Kraft Rücksicht nimmt, aus T die Störungen der mittleren Länge und die correspondirenden des Log. des Radius-Vectors auf folgende Art bekommt. Man berechne

bei welcher Integration als constant betrachtet werden muss. Hierauf bekommt man

wo der Strich über W und dessen Differentialquotienten anzeigt, dals vor diesen Integrationen in u verwandelt werden muss. Die diesen Integrationen hinzuzufügenden Constanten sind hier der Kürze wegen weggelassen worden. In demselben Werke ist gezeigt, wie man bei der Berechnung der von den Quadraten u. s. w. der störenden Kräfte abhängigen Störungen zu verfahren hat, welches Verfahren in der vorliegenden Aufgabe ohne wesentliche Abänderungen angewandt werden kann. Zur Ermittelung der Breitenstörungen wendet der Verf. die in demselben Werke erklärten Elemente p1 und q1 an, deren Differentialausdrücke die folgenden sind

wo i die Neigung der Kometenbahn gegen eine willkührlich anzunehmende Fundamentalebene bedeutet. Man sieht, dafs hier ebenfalls die Functionen, womit der Differentialquotient von multiplicirt ist, der verlangten Bedingung genügen. Nachdem diese Ausdrücke integrirt worden sind, erhält man die Breitenstörungen &s durch folgenden Ausdruck

woraus hervorgeht, dass man ds nicht durch stark convergirende Reihen ausdrücken kann, indem sinf und cosƒ keine ganzen Functionen von sin u und cos u sind; man müfste denn ƒ neben u stehen lassen, welches aber die Anwendung der Störungen erschweren würde. Multiplicirt man aber die vorstehende Gleichung mit r, dann wird

rds = dq1aV1 — e2. sinu-Sp, a (cos u-e)

1

in welcher der verlangten Bedingung Genüge geleistet ist. Dieser Ausdruck ist nie unbequem, da es ein leichtes ist, bei der Anwendung der Störungen nach der Berechnung ihrer numerischen Werthe, diese mit dem numerischen Werthe von r zu dividiren. Häufig wendet man aber auch zur Berechnung der heliocentrischen Örter Formeln an, die res verlangen, und in die

sem Falle ist der vorstehende Ausdruck der bequemste. Man kann übrigens auch, wenn man die Störungen in Tafeln bringt, den vorstehenden Ausdruck für ds, welcher ƒ neben u verlangt, anwenden, und also Tafeln für Ss selbst geben.

Nach Ausführung der im Vorhergehenden angedeuteten Entwickelungen bestehen die zu integrirenden Differentialen aus Gliedern, die theils die Form

haben, wo a und A von und u unabhängig sind. Die erste dieser Formen kann auf zweierlei Weise auf die zweite zurückgeführt werden. Wir haben nämlich erstens

ndt = (1 - e cosu) du

und durch Substitution dieses Ausdruckes ergiebt sich

na

cos

a fc0$ (iu+i'g'+A) dt = a afcos (iu+i'g'+4) du

sin

sin

Zweitens kann man die Reduction durch partielle Integration bewirken. Diese giebt

a sin

i'v cos

(iu + i'g'+A)

COS

ia fcos (iu+i'g'+A) du

sin

WO = ist. Es ist also blos nöthig, die zweite Form zu

n'
n

betrachten. Abgesehen von der diese Form wesentlich vereinfachenden Bedingung = o, hat das Integral derselben folgende i Form

a fcos (iu+i'g'+4)du = aœ; sin (iu +ig′+A)

sin((i+1)u+ig’+A)

+ac;2sin((i+2) u+ig'+4)+etc. +ax ;_1 sin ((i — 1) u + i'g'+ A)

+aa;_2sin((i—2) u+ig'+1)+etc.

und es wird in der in Rede stehenden Abhandlung gezeigt, dass die Bestimmung der Integrationsfactoren α, α+1, etc. α¡—1, etc. von zwei stark convergirenden Kettenbrüchen abhängt. Diese sind

1

gesetzt worden ist. Hat man aus diesen beiden Kettenbrüchen

λ = ei'v

Dieselben Kettenbrüche dienen, um die Verhältnisse von je zwei auf einanderfolgenden der übrigen Integrationsfactoren zu berechnen und somit sind diese alle gegeben. Das Integral afsin (iu+i'g'+A) du führt auf einen Ausdruck, in welchem die Integrationsfactoren dieselben sind, aber alle das entgegengesetzte Zeichen haben, und in welchem die Cosinusse statt der Sinusse vorkommen. Das durch die vorstehenden Ausdrücke entspringende Verfahren ist sehr einfach und in der Abhandlung durch ein ausführliches Beispiel besonders erklärt.

Den Schlufs der Abhandlung bildet die Entwickelung der durch die Reaction der Planeten auf die Sonne erzeugten Störungen nach den im Vorhergehenden dargelegten Grundsätzen.