Dieses ist das Resultat für die Störungen des Enckeschen Kometen durch den Saturn, und das erste seiner Gattung. Zählt man die Argumente der obigen Längenstörungen, so findet man deren 46, und in den Störungen des Logarithmus des Radius-Vectors und der Breite sind einige weniger. Aus eben so vielen Gliedern wie Argumenten bestehen eigentlich diese Störungen, da man je zwei der vorstehenden Glieder durch eine bekannte Transformation in Eins vereinigen kann. Unter den Coefficienten der Längenstörungen sind, wenn man die beiden mit der Zeit selbst multiplicirten Glieder die Säcularänderungen nicht mitzählt, nur 14 Argumente, deren Coefficienten gröfser wie eine Secunde sind, 15, deren Coefficienten zwischen einer Secunde und einer Zehntelsecunde liegen, also 15, deren Coefficienten kleiner wie eine Zehntelsecunde sind. In den Störungen des Log. des Radius-Vectors findet nahe dasselbe Verhältnifs statt, und in den Breitenstörungen sind alle Coefficienten, bis auf zwei derselben, kleiner wie eine Secunde. Der Verf. giebt hierauf eine Vergleichung der vorstehenden absoluten Störungen, mit einigen der von Encke durch mechanische Quadraturen berechneten relativen Störungen. Diese kann wohl füglich hier, um Raum zu ersparen, weggelassen werden, da sie nächstens publicirt wird. Zur Darlegung des Verfahrens, wodurch vorstehendes Resultat erlangt worden ist übergehend, betrachtet der Verf. zuvörderst die Entwickelungen der Grösse: Eins dividirt durch die gegenseitige Entfernung des Kometen und Planeten, nach den Potenzen des Verhältnisses der Radien geordnet. Die Entwikkelungen sind bekanntlich folgende: wo ▲ die gegenseitige Entfernung, r und r' die Radii-Vectores, U1 = H; U2 = — H2 — —; U3 H3-H; etc. und H der Cosinus des Winkels, den die beiden Radii-Vectores einschliefsen, sind. Diese beiden Reiben convergiren nicht in allen Fällen, denn wenn r>r', convergirt die erste Reihe nicht immer, und wenn r<r', convergirt die zweite Reihe nicht immer; aus dieser Ursache müssen in der in Rede stehenden Aufgabe die beiden Fälle r<r' und r>r' von einander unterschieden werden. In jenem Falle convergirt die erste Reihe immer, und in diesem Falle convergirt die zweite Reihe immer. Wenn rr', convergiren beide Reihen, mit Ausnahme des Falles, wo zugleich H = +1. Aber dieser Fall bedingt ein Zusammenstofsen des Planeten und Kometen, in welchem überhaupt die Berechnung der Störungen aufhört möglich zu sein. Der Verf. nennt die Convergenz, die die obigen Reihen von Glied zu Glied darbieten, wenn man sie nach den Cosinussen der Vielfachen des Winkels, dessen Cosinus = H ist, entwickelt, die natürliche Convergenz der Störungsfunction, und ist der Meinung, dafs diese durch kein Mittel vergrössert, wohl aber durch die Art und Weise der ferneren Entwickelung verkleinert werden könne. Bei der weiteren Entwickelung mufs man daher von dem Gesichtspunkte ausgehen, dafs die natürliche Convergenz der Störungsfunction und ihrer Differentialquotienten möglichst erhalten werde. tienten selbst. Dieser Satz erleidet indefs zuweilen eine Ausnahme, welche aber blos einzelne Glieder betrifft, die durch die Integration hervorgehoben werden. Grade in den Fällen, wo die natürliche Convergenz der Differentiale am geringsten ist, wird dieselbe durch die Integration im Allgemeinen am meisten gesteigert. Durch die Entwickelung der Störungsfunction nach den Vielfachen der Sinusse und Cosinusse der mittleren Anomalie der beiden in Betracht kommenden Himmelskörper, und die dabei zugleich statt findende, nicht zu vermeidende Entwickelung der Coefficienten in unendliche, nach den Potenzen der Excentrici täten und Neigungen fortschreitende Reihen, sei es, dass man diese explicite darstellt, oder deren Summen, d. h. die Coefficienten selbst, durch Transcendenten ausdrückt, wird die natürliche Convergenz der Störungsfunction, selbst wenn die Excentricitäten und Neigungen klein sind, schon merklich vermindert, und schon wenn diese Grössen einiger Maassen beträchtlich sind, vermindert sich die natürliche Convergenz so sehr, dafs man auf den Gebrauch der dadurch entstehenden unendlichen Reihen verzichten mufs. In viel höherem Grade findet dieses statt, wenn Excentricitäten und Neigungen wie die der Kometenbahnen in Betracht kommen. Es ist daher bei der Auflösung der vorliegenden Aufgabe nöthig, in der Störungsfunction sowohl wie in allen übrigen Functionen, deren Entwickelung erforderlich ist, unendliche nach den Potenzen der Excentricität und Neigung der Kometenbahn fortschreitende Reihen zu vermeiden. Die gänzliche Vermeidung solcher unendlichen Reihen ist die Basis des Verfahrens, welches hier dargelegt wird. Es wird zu diesem Zwecke H = A cos ƒ + B sin f gesetzt, wo f die wahre Anomalie des Kometen bezeichnet, und A = cos 12 cos (f' 2K) + sin 12 cos (f' + 2N) 2 B = cos I2 sin (ƒ' — 2K) — sin 1⁄2 12 sin (ƒ' + 2N) wo f' die wahre Anomalie des Planeten, I die gegenseitige Neigung der Kometen- und Planetenbahnen bedeuten, und NK resp. die Entfernungen der Perihelien von dem aufsteigenden Knoten der Kometenbahn auf der Planetenbahn bezeichnen. Nennen wir nun die Störungsfunction 2, und die Massen der Sonne, des Kometen und des Planeten resp. M, m, m', dann erhalten wir in dem Falle, wo r<r' Substituiren wir nun den vorstehenden Ausdruck für H in die oben angeführten Werthe von U2, U3, etc., und diese wieder in den Ausdruck für S, und setzen dabei Die Coefficienten der Potenzen und Producte der Coordinaten x und y dieses Ausdrucks sind ganze und rationale Functionen von A, B und Vermöge der vorstehenden Ausdrücke von A und B, und des Ausdruckes 1 1 + e' cos f' von 1 sind diese Coefficienten also ganze und rationale Functionen von sin f' und cos ƒ', und können mithin auf folgende Form gebracht werden ao+a1 cos f' + a2 cos 2ƒ'+ .... cos f' +ß1 sin f' + B2 sin 2ƒ'+.... + Bμ sin μƒ' 1 2 wo die Coefficienten ganze und rationale Functionen der Excentricität e' des Planeten und der gegenseitigen Neigung der Kometen- und Planetenbahnen sind. Es kommen mithin hier keine nach den Potenzen von I und e' fortlaufende unendliche Reihen vor. Bezeichnen wir die auf vorstehende Form gebrachten Coefficienten allgemein mit C, dann haben wir S = Σxky1Ckl wenn wir die Glieder weglassen, in welchen k+1 < 2 ist. Man erkennt leicht, dass immer im letzten Gliede der angezeigten Entwickelung von Cz,2.. 14 = 2 (k+1)+1 ist. Nennen wir nun die excentrische Anomalie des Kometen u, dann ist x= COS u- e; y = Vie2. sin u und mithin xy1 eine ganze und rationale Function von sin u und cos u, in welcher die Coefficienten ebenfalls und raganze tionale Functionen von e und Ve2 sind. Es lässt sich daher y auf folgenden endlichen Ausdruck hinführen -e = 10+ Y1 cos u + Y2 COS 2u + ....+Y+ Cos (k+1) u ε1 sin u + ε1⁄2 sin 2 u + + εk+1 .... xy: oder = sin (k+1) u je nachdem eine grade oder ungrade Zahl ist. In diesen Ausdrücken sind die Coefficienten ebenfalls ganze und rationale Functionen von e und Vie2. Durch die Multiplication dieser Ausdrücke von xy' mit dem obigen Ausdruck für C11 ergiebt sich endlich &= Kir cos (iu+if') + Σ Zip sin (iu + if') in welchem unendliche nach den Potenzen und Producten der Excentricitäten und der gegenseitigen Neigung fortschreitende Reihen gänzlich vermieden sind, und mithin der natürlichen Convergenz der Störungsfunction kein Eintrag, oder doch gewils nur der möglichst geringe Eintrag geschehen ist. Durch die vorstehende Auseinandersetzung wird zugleich angedeutet, wie man im zweiten Falle, wo r>r' ist, zu verfahren habe. Wegen der geringen Excentricität der störenden Planeten ist es, wenigstens in den meisten Fällen, nicht nöthig, die unendlichen nach den Potenzen der Excentricität des Planeten fortschreitenden Reihen zu vermeiden. Man vergiebt dadurch freilich etwas von der natürlichen Convergenz der Störungsfunction, aber die Verminderung die sie dadurch erleidet, ist nicht so grofs, dafs sie schädlich würde; man erlangt im Gegentheil, während man in dieser Beziehung etwas vergiebt, in Bezug auf die Leichtigkeit der Integration und der nachherigen Anwendung der Störungen einige Vortheile. Statt der eben gegebenen Form der Entwickelung der Störungsfunction bringt daher der Verf. in dem Falle, um welchen es sich hier handelt, die folgende in Anwendung Mii cos (i u + i'g') + Nți sin (iu + i'g') wog' die mittlere Anomalie des störenden Planeten ist. Es ist nun für den hier zu erreichenden Zweck gleichgültig, welches Verfahren angewandt wird, um die Entwickelung von und deren Differentialquotienten auszuführen, wenn nur durch die Entwickelung die vorstehende Form zu Wege gebracht wird, und die Werthe der Coefficienten vollständig er |