311, 343, 386, 391, 431, 478, 503, 542, 622, 631, 647, 679, 718, 734, 862, 863, 866, 911. 919, 926, 958, 967, 974 zur zweiten Klasse, die Zahlen: 7*), 31, 46, 158, 191, 199, 206, 239, 302, 334, 367, 382, 383, 446, 463, 479, 487, 511, 526, 599, 607, 686, 706, 719, 743, 751, 766, 802, 823, 878, 887, 983, 991. Nach dieser Zählung gehören zur ersten Klasse 31 Zahlen und zur zweiten 33. Es ist also schon hiernach zu vermuthen, dass sich die Zahlen, unbegrenzt gedacht, gleichmässig unter den beiden Klassen vertheilen. Ich habe aber schon früher bemerkt, dass es, wenn man aus solchen Abzählungen Schlüsse ziehen will, richtiger ist nur die Stammzahlen zu berücksichtigen **). Thut man dies auch hier, so sind in der ersten Klasse die Zahlen 238, 503, 866 und in der zweiten die Zahlen 158, 383, 706, 887, 983 auszuscheiden, so dass in beiden Klassen 28 Zahlen bleiben. Wenn die Zahlen, von welchen hier die Rede ist, in Beziehung auf die gleichwerthigen positiven Kettenbrüche betrachtet werden, so zerfallen sie in drei Klassen ***). Diese drei Klassen müssen sich also unter den zwei, zum negativen Kettenbruche gehörenden, vertheilen und in der That findet man in jeder dieser zwei Klassen Zahlen aus den drei zum positiven Kettenbruche gehörenden Klassen. So z. B. kommen in der ersten zum negativen Kettenbruche gehörenden Klasse die Zahlen 71, 94, 311 vor,. von welchen die erste, zweite, dritte, bezüglich in der dritten, zweiten, ersten, der zum positiven Kettenbruche gehörenden Klassen enthalten ist. Die dritte Klasse habe ich a. a. O. auf folgende Weise charakterisirt. In dem positiven Kettenbruche der zu dieser Klasse gehörenden Zahlen kommen immer vier auf einander folgende vollständige Quotienten *) Eigentlich gehört die Zahl 7, wie oben (§. 13) bemerkt worden ist, zu keiner der beiden Klassen; ich rechne sie zur zweiten, weil die Nenner der beiden ersten vollständigen Quotienten 1 und 2 sind, also der Bedingung du=2du-1 genügen. **) Crelle's Journ. f. d. Math. Bd. 53. p. 69. ***) Ebend. p. 82. VA+I,-2 VA+1,-1 VA+I, VA+L+1 vor, aus welchen sich D2-2 Dz-1 D2 D2+1 die Theilnenner a1-1, az, ɑ+1, +2 ergeben, so dass a, a2+1 = 2 und D2-1+D1 = 21, = I-1+I+1; D2-2+D2+1≈D1-1+D,, während zugleich I-1+I,= 2D ̧-1; I+I+1=2D,. Es ist hieraus leicht zu schliessen, dass die Zahlen dieser Klasse immer in der zweiten Abtheilung der zum negativen Kettenbruche gehörenden Klassen enthalten sind, und zwar der ersten oder zweiten Klasse, je nachdem a in einer geraden oder ungeraden Stelle steht. Im ersten Falle nemlich entspringt aus a, in dem negativen Kettenbruche der Theilnenner 2, während aus dem folgenden a2+1 in der negativen Periode der Theilnenner 4 entspringt. Im zweiten Falle dagegen entspringt in der negativen Periode aus a, der Theilnenner 4, aus a+1 der Theilnenner 2. In der negativen Periode finden sich also im ersten Falle die unmittelbar auf einander folgenden Theilnenner 2, 4, im zweiten Falle dagegen 4, 2; jedenfalls soll die erste dieser Zahlen bu, die zweite bu+1 heissen, so dass entweder bu+1=2bu oder bu=2bu+1. Nun sind die vollständigen QuotienVA+in-1 ten, aus welchen bu und bu+1 entspringen, bezüglich VA + in du du-1 und Da aber im ersten Falle a+1 in einer ungeraden Stelle fundenen Werthe von i und du-1 substituirt, iu-1= D2+31-2D2-1 also iu+1-iu-1 = Is+1—312+2D-1 oder da 2D-1 I-1+I, (nach = Nun ist auch 21, D.-1 D2, also du-1 2D. 2du, d. h. die Zahl A gehört zur zweiten Abtheilung der ersten Klasse. Steht dagegen a, in einer ungeraden Stelle, so ist Die Zahl A gehört demnach zur zweiten Abtheilung der zweiten Klasse. Man darf aber diesen Satz nicht umkehren. Es giebt nemlich Zahlen, bei welchen die Gleichungen iu-1=i+1 und du-1 = 2du oder du 2du-1 statt finden, und welche dennoch nicht in der dritten zum positiven Kettenbruche gehörenden Klasse enthalten sind. Dies ist z. B. bei der Zahl 311 der Fall, bei deren negativen Periode die Zähler iu-1=21, iu=19, iu+1=21 mit den entsprechenden Nennern du-1= 10, du 5 vorkommen, obgleich diese Zahl in der ersten zum positiven Kettenbruche gehörenden Klasse enthalten ist. = 18. Aus der Gleichung p2 - Aq2 = 2 folgt, dass q ungerade ist. Da nun q 2mm oder m2m ist, so muss im ersten Falle mo und im zweiten m1 ungerade seyn. Setzt man 2m。mɩ ß, und je nachdem A in der ersten oder zweiten zum negativen Kettenbruche gehörenden Klasse enthalten ist, a = = 2m+m oder am+2m, so ergiebt sich in jedem Falle aus den in §. 14 gefundenen Werthen von x und y die Gleichung ay - Bx = 1. Da nun ẞ gerade ist, muss y ungerade seyn und da y = d oder du-1, je nachdem du-1 2d oder du 2d-1, so heisst dies: von den zwei Zahlen du-1 und du muss immer die kleinere ungerade seyn. = = Ich lasse noch zur bequemeren Veranschaulichung eine Tafel folgen, welche für alle Zahlen von 1 bis 100, die keine Quadratzahlen sind, die zugehörigen negativen Kettenbrüche enthält. Die Einrichtung der Tafel ist der des bekannten Degen'schen Werkes Canon Pellianus ähnlich, nur ist noch eine Columne hinzugekommen, so dass zu jeder Zahl drei Columnen gehören; die erste Columne enthält die Theilnenner bis zum mittleren oder bis zu den beiden mittleren einschliesslich, die zweite (welche bei Degen nicht vorkommt) die Zähler und die dritte die Nenner der zugehörigen vollständigen Quotienten. |