pas à y revenir, il attendra, pour mettre en évidence l'insignifiance de la correction en question, et pour prouver clairement qu'elle ne remédie à rien, que la discussion à laquelle vient de se livrer M. Mauvais ait été insérée au Compte rendu de la séance.

CALCUL DES PROBABILITÉS. — Remarques sur les différences qui distinguent l'interpolation de M. Cauchy de la méthode des moindres carrés, et qui assurent la supériorité de cette méthode; par M. JULES BIENAYMÉ.

Depuis quelque temps, l'attention de plusieurs observateurs s'est portée sur une méthode d'interpolation que M. Cauchy a publiée en 1835 (1), et il semble qu'on ait regardé cette méthode comme ayant quelque chose d'analogue aux avantages de la célèbre méthode des moindres carrés. Il serait fâcheux que les observateurs fussent trompés à cet égard par ce qui a pu être dit des deux méthodes, car elles diffèrent complétement; et si le procédé de M. Cauchy témoigne, comme tout ce qui sort de sa plume, de l'ingénieuse industrie qu'il sait apporter jusque dans les questions pratiques, ce procédé n'en est pas moins tout à fait en contradiction avec les principes du calcul des probabilités. Ce désaccord ne paraît pas être connu, quoi qu'il soit très-facile de l'apercevoir. Mais c'est ce que le temps limité dont les observateurs font le sacrifice à l'analyse, ne leur permet pas de rechercher. Un avertissement peut donc leur être utile; et sans toucher le moins du monde à la valeur que chacun attachera au procédé de M. Cauchy, comme moyen d'interpolation (de séries convergentes surtout), il sera permis de montrer que ce procédé n'est qu'une modification de l'élimination ordinaire entre plusieurs équations du premier degré; modification déjà prescrite par les auteurs qui se sont occupés des moindres carrés, et que M. Gauss a réduite en algorithme; qu'il n'offre aucun degré spécial de probabilité quand on l'applique à des équations plus nombreuses que les inconnues à déterminer; qu'au contraire, il ajoute alors aux risques d'erreur, et n'en assigne pas la mesure; enfin, que, comme moyen d'élimination, il s'appliquerait parfaitement à la méthode des moindres carrés, si par hasard le nombre des inconnues était trop considérable pour qu'on voulût les calculer toutes, et que les dernières ne donnassent d'ailleurs que des termes moindres que les erreurs des quantités observées, supposées seules

(1) Voir le Journal de Mathématiques de M. Liouville, tome II, page 193, année 1837.

dans un membre de l'équation. Il est vrai qu'alors rien ne serait plus simple que de supprimer d'avance ces inconnues, que ferait reconnaître l'examen préalable qui doit toujours être fait des équations considérées, avant d'y appliquer un procédé quelconque.

» Pour montrer, aussi simplement que la matière le comporte, comment le procédé de M. Cauchy n'est qu'une modification de l'élimination ordinaire, il suffit de reprendre cette élimination. Soit donc un nombre n d'équations, entre tout autant d'inconnues, de la forme

(1)

x1 ar + x2bn + Xz Ch + ... + Xnlp = wn.

» Si l'on multiplie toutes ces équations par un premier système de facteurs arbitraires k,,, et qu'on ajoute les produits; puis par un second système de facteurs k2,h, et qu'on ajoute de même les produits; et qu'on répète cette opération n fois, il est visible qu'on obtiendra n équations de la forme

Quels que soient les facteurs arbitraires k, ces équations pourront remplacer les premières, pourvu que chaque système de facteurs soit différent, afin que les nouvelles équations ne rentrent pas les unes dans les autres. Mais il est palpable que le choix de ces facteurs n'influera pas sur les valeurs finales des inconnues, dont ils disparaîtront entièrement lorsqu'il y aura autant d'inconnues que d'équations primitivement données. Il n'en serait pas de même s'il y avait plus d'équations que d'inconnues; mais c'est ce sur quoi il suffira de revenir plus tard, car rien n'empêche, dans ce cas même, de supposer d'abord autant d'inconnues que l'on voudra, sauf à annuler ensuite les coefficients d'une partie de ces inconnues.

» Maintenant on procédera à l'élimination de x, entre la première des nouvelles équations et chacune des (n − 1) autres, comme à l'ordinaire, en rendant égaux les coefficients de cette inconnue, et retranchant successivement la première équation de chacune des (n - 1) autres.

>> Par exemple, pour retrancher de l'équation de rang i, qui a été écrite ci-dessus (3) comme type de toutes, on multiplie la première par le rapport

des coefficients de x,,

S.apki, k
S.ank, h

et l'on obtient sans peine une équation ne renfermant plus x,:

» Il y aura (n-1) équations de cette forme, et elles ne renfermeront

plus que (n-1) inconnues.

» Si l'on fait attention à la composition des coefficients de ces équations, on voit que l'un quelconque

pourvu qu'on ait dénommé, avec M. Cauchy, par Ach, les différences entre parenthèses, et qu'on ait formé toutes ces différences. Ce seront

» Alors les (n forme

Wh

− 1) équations, entre les (n − 1) inconnues, prennent la

x, S. Abk2,h + x3 S. Achk2, h +....= S. A wh k2, hi

x2 S. Ab ki,n+x, S. A cr ki, n + ... S. A wp ki,n.

» Il est manifeste que l'on formerait ces équations, en retranchant la somme (2) des produits par les facteurs k,, des n équations (1) données, de chacune de ces équations, après avoir multiplié cette somme par 5.apk.h

ah

Il viendrait ainsi (n

1) équations de la forme

x 2 A bh + x 3 ▲ Сh + ... + xn Aln

= Awni

et en les multipliant par les facteurs du système ką,ħ, on retomberait sur la première des (n − 1) équations déja obtenues. Les autres dépendraient des systèmes de facteurs désignés par ki, h, etc.

>> Rien ne vient donc mêler le second système de facteurs avec le premier; et il est placé de même que si l'on ne l'avait introduit qu'après l'élimination de la première inconnue x,; mais, comme on l'a vu, c'est absolument comme si on l'avait introduit tout d'abord.

» A présent, rien n'est plus aisé que de poursuivre l'élimination des inconnues les unes après les autres. En représentant par 42 des différences formées avec les différences A et le système de facteurs k2,, comme les A l'ont été avec les coefficients et les facteurs k,,; par exemple,

» En agissant ensuite de la même manière sur ces équations, on éliminerait encore une inconnue ; et il est superflu de pousser plus loin l'opération. Le but est actuellement atteint c'était de montrer que les facteurs ki,h, quels qu'ils soient (M. Cauchy, on le sait, les prend égaux à ±1), peuvent être introduits dès le commencement de l'opération, sans modifier le moins du monde les résultats. On pouvait penser que M. Cauchy n'introduisant le deuxième système de facteurs qu'après avoir formé les différences A, ce système aurait à subir quelque condition spéciale si l'on voulait remonter à la combinaison des équations primitives qui, basée sur ce deuxième système, laisserait pourtant chacun des k2, tout à fait arbitraire. On pouvait craindre que les k2, ne vinssent à exiger des facteurs compliqués par les opérations qui conduisent aux équations successives. Il est à présent facile de reconnaître que les choses ne se compliquent pas ainsi, et que l'élimination successive d'une inconnue laisse en dehors des calculs tous les systèmes de facteurs

d'un indice plus élevé que l'indice de cette inconnue. Si bien que ces facteurs jouent le même rôle que s'ils venaient d'être introduits arbitrai

rement.

>> Or ils donnent les mêmes résultats que les équations (2) et (3), où ils sont introduits dès l'origine. Et il est très-aisé de voir qu'ils donnent les mèmes résultats, à quelque nombre m < n qu'on réduise ces équations, et les inconnues qu'elles renferment. Car on parviendra successivement [et c'est là le côté ingénieux du procédé, qu'on l'attribue à M. Cauchy ou à M. Gauss (*)], on parviendra aux n équations:

>> Que si l'on s'arrête à m inconnues, les premiers termes, dans lesquels entrent ces inconnues, seront précisément les mêmes que si l'on eût pris les équations entières.

D'un autre côté, on voit très-clairement que ces premiers termes déduits de n équations de la forme

présentent le résultat ordinaire de l'élimination entre ces équations réduites au nombre m, par la multiplication de m systèmes de n facteurs arbitraires et par l'addition des produits.

» Or on sait, par la méthode des moindres carrés, quels doivent être ces m systèmes chacun de n facteurs, pour que l'erreur finale due aux erreurs partielles des quantités observées w soit un minimum; en d'autres termes, pour que le résultat soit tel, que la somme des carrés des différences entre les o et les premiers membres des n équations données devienne un minimum. Les facteurs kih, pour satisfaire à cette condition évidemment avantageuse, doivent être les coefficients mêmes des inconnues. Les facteurs de M. Cauchy sont au contraire tous égaux à±1: ils ne sauraient donc donner un résultat aussi probable ni aussi avantageux l'est celui de la méthode des moindres carrés.

que

(*) Ce qui distingue surtout le procédé de M. Cauchy, c'est le calcul des restes Ah, chaque élimination d'inconnues.

C. R., 1853, 2me Semestre. (T. XXXVII, No 1.)

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