Il y a plus ces facteurs n'assignent aux résultats aucune probabilité spéciale; car ils prennent leurs signes de manière que toujours A-' grki.n soit positif, si gr indique précisément les coefficients de l'inconnue x; de rang i; avec laquelle apparaissent les facteurs ki,, dans l'ordre d'élimination suivi par M. Cauchy. Or il n'y a là rien qui assigne plutôt une grandeur qu'une autre aux erreurs qu'on laisse subsister.

>>

Que l'on considère effectivement le premier résultat

S.wpk,h
S.apk, h

Les facteurs k,, sont±1, pris de manière que S. ark,,, est égale à la somme des valeurs absolues des ar. Partant

S.whki, h
S.apk.h

est une moyenne entre la plus grande et la plus petite des fractions à dénominateur positif,

c'est-à-dire une moyenne entre les fractions. Il en résulte que l'erreur de

sera

et comme

S.sk, h an S.anks, ;

est tout au plus égale à, la plus grande des fractions

S.Aki, k S.apk,h on aura seulement

au

Ελ

-9

» Ce qui vient d'être dit s'applique à tous les degrés de l'opération, de sorte que rien ne garantit que les erreurs n'iront pas en croissant.

» Mais ce n'est pas tout: si l'opération est arrêtée à une inconnue quelconque, elle introduit par sa nature même une autre espèce d'erreur; puisqu'on neglige alors une suite de termes qui, dans chaque équation, devraient non pas être négligés, mais retranchés des w, avant de procéder à l'élimination. Appelant ces quantités négligées d', il est manifeste qu'il arrivera aux d' ce que l'on vient de reconnaître pour les ; et que les combinaisons Adh, Adh, Adh, etc., pourront grandir et non décroître dans la suite des calculs. Il sera fort difficile d'en être averti; car les quantités Aw, Ah, etc., que M. Cauchy prend pour indices du terme de l'opération, sont sujettes elles-mêmes à croître et à décroître. On en voit un exemple dans l'interpolation même faite par l'auteur, et publiée dans les Nouveaux Exercices de Mathématiques, Prague, 1835. Ainsi l'on n'est pas sûr qu'il faille arrêter les calculs d'après la grandeur de ces indices.

Il faut se hâter d'ajouter que M. Cauchy n'a proposé sa méthode que pour interpoler des séries dont la convergence est assurée préalablement; et que dans cette circonstance particulière, les Ah, A2wh, etc., iront sans doute en diminuant. Mais son exemple même prouve que ce cas spécial n'est pas exempt de la difficulté signalée ; et cependant la convergence était très-grande. Il est bien clair que cette difficulté affectera à bien plus forte raison l'emploi qu'on pourra faire de sa méthode à des équations de condition, où les inconnues et leurs coefficients ne forment pas une suite trèsconvergente dans le premier membre. Or on semble aujourd'hui vouloir faire de cette méthode une règle générale, également bonne dans tous les

cas.

» On voit que cela n'est pas; que c'est uniquement un moyen d'élimination qui peut offrir des avantages dans certaines circonstances. L'interpolation est un problème tellement indéterminé, qu'il est bon d'avoir divers procédés, même pour éliminer entre les équations auxquelles on décide qu'il faut s'arrêter. A ce titre, ce sera à l'observateur à discuter le problème qu'il doit résoudre; et à constater s'il y a pour lui quelque utilité à appliquer le procédé de M. Cauchy, au lieu des méthodes d'interpolation que l'on emploie le plus souvent. Mais quand il voudra obtenir les erreurs minimum, on voit qu'il ne devra pas substituer ce procédé à la méthode des moindres carrés.

» Au surplus, d'après tout ce qui précède, il est visible que les coefficients ki peuvent être ceux de la méthode des moindres carrés. Il est donc

très-praticable, dans cette méthode, de faire les éliminations successives, en transformant le système d'équations à m inconnues, en un système qui n'aura qu'une équation à m inconnues, une à (m − 1) inconnues, une à (m2), et ainsi de suite, jusqu'à une équation à une seule inconnue, et, si l'on veut, de prendre en considération la grandeur des restes.

» Si donc il se rencontre quelque avantage particulier au procédé, on l'obtiendra sans sacrifier le moins du monde les avantages bien supérieurs de la méthode des moindres carrés. Aussi Laplace avait-il prescrit précisément le même mode d'élimination (voir le 1er supplément à la Théorie des Probabilités). Longtemps auparavant, M. Gauss l'avait reduit en algorithme. Les quantités qu'il désigne par [bc, 1], [bb, 1],..., [cd, 2], etc., sont analogues aux A de M. Cauchy (voir Disquisitio de elementis Palladis, 1811; ou Theoria Combinationis observationum, 1828, supplément, page 17). On peut même reconnaître une marche identique dans les éliminations de Legendre (Nouvelles Recherches sur les Orbites des Comètes, 1805). Cette marche a dù s'offrir à tous les auteurs, parce que c'est la plus courte que l'on connaisse pour un système d'équations du premier degré. Elle faisait partie de l'enseignement, attendu qu'elle est éminemment pratique. En effet, quand une fois les équations sont ainsi ramenées à contenir chacune une inconnue de moins, rien n'est plus facile que d'écrire à la première vue la valeur d'une quelconque des inconnues.

m

3

I

>> On peut s'assurer que pour m équations entre m inconnues, cette marche n'exige que TM 71 (2 m2 + 5m+6) opérations monômes, divisions ou multiplications, soustractions et additions. Pour 9 inconnues, par exemple, il suffit de 568 opérations: nombre qu'on trouvera très-petit, si l'on réfléchit que le dénominateur commun aurait, suivant l'expression générale, 1×2×3×4×5×6×7×8×9 = 362 880 termes; et que chacun des 9 numérateurs en contenant le même nombre, il y aurait en tout 3628 800 termes, chacun de 10 facteurs, ou 36 millions d'opérations.

» Il serait inutile d'entrer ici dans de plus longs développements à ce sujet. Les praticiens reconnaîtront assez, par ce qui précède, quels avantages on pourra retirer ou non de ces sortes de combinaisons. Les indications données sur la réduction du procédé de M. Cauchy à l'élimination entre des équations, sommes de produits des équations données par des facteurs arbitraires, jettent un tel jour sur la nature de ce procédé, que l'on pourra en juger bien mieux les ressources ou les défauts suivant les cas.

En terminant, il faut insister encore une fois sur la différence et même

la contradiction qui existe entre ce procédé et la méthode des moindres carrés, ou toute autre basée sur le calcul des probabilités.

vées

» P. S. M. Cauchy, à qui le sujet de ces remarques avait été communiqué verbalement, paraît en avoir admis la justesse, car il vient de proposer de corriger, par la méthode des moindres carrées, les valeurs troupar son calcul. La Note que ce profond analyste a fait insérer à ce sujet dans le Compte rendu de l'Académie des Sciences, séance du 27 juin dernier, semble toutefois appeler la prompte publication de ce qui précède : car la correction de l'illustre auteur ne tend rien moins qu'à doubler le travail si pénible de l'élimination. On a pu voir, en effet, ci-dessus, que son élimination nécessite exactement les mêmes opérations, en même nombre, que la méthode des moindres carrés. Prendre des valeurs approchées par un procédé si complexe, puis les corriger par les moindres carrés, revient donc à faire deux fois tous les calculs. Or la résolution des équations qui renferment plusieurs inconnues, est de toute nécessité très-longue, quelque voie que l'on veuille suivre ; et la pratique se refuse à tout ce qui en accroît les fastidieux calculs. »

TECHNOLOGIE. Compte rendu des travaux de la Commission française instituée pour l'Exposition universelle de Londres, en 1851; par M. le baron CHARLES DUPIN, président de la Commission, à l'Empereur, le 17 juin 1853.

<< Cette Commission était composée de trente-six Membres, dont dix-sept appartiennent à trois Académies de l'Institut, et quinze à la seule Académie des Sciences.

Après avoir accompli ses travaux dans le jury international de trois cents Membres empruntés à toutes les nations, la Commission française s'est proposé de présenter le tableau du progrès des arts éclairés par les sciences, depuis la paix générale. Pendant cette longue période, une lutte libre et pacifique s'est établie entre les nations progressives; il en est résulté des inventions, des perfectionnements qui sont d'une immense influence sur le sort même et la prospérité des peuples.

» Dans cette lutte bienfaisante, la France a joué un rôle éminent, que l'Exposition universelle a fait ressortir dans tout son éclat.

Lorsqu'on a comparé le nombre des exposants à celui des récompenses du premier ordre, décernées surtout au mérite de l'invention, on a trouvé que les étrangers ont obtenu huit récompenses par mille exposants, et les Français trente.

» M. le baron Dupin énumère quelques-unes des récompenses obtenues par les découvertes dues à des Membres de l'Académie, et qu'ils ont fait donner à des exposants français, chargés de les appliquer.

» Sèvres n'avait pas uniquement pour titres les perfections qui font admirer dans toutes les contrées ses porcelaines exquises: la variété, l'élégance et la beauté des formes, la pureté des contours et la vérité des couleurs. Elle avait aussi le mérite de l'invention. Au nombre des jurés français se trouvait un jeune savant, naguère encore directeur de Sèvres. Luimême était inventeur de procédés ingénieux, sur la soufflerie et le chanffage des fourneaux; puis sur la reproduction, par le creuset du chimiste, de minéraux importants, que la nature a formés dans la nuit des temps, au moyen de procédés inconnus et tout-puissants. Avec la juste autorité que lui donnaient de pareils titres, il a facilement fait reconnaître les inventions et les progrès dont notre manufacture, école et devancière, avait gratifié les industries privées. Sèvres a gagné sa cause: n'était-ce pas justice ?

Hélas! ici finissent les services qu'un talent de si grande espérance devait rendre à son pays. Une mort prématurée, subite, est venue interrompre les découvertes que M. Ebelmen multipliait chaque année : il est tombé lorsqu'il touchait du pied le seuil de l'Académie des Sciences. Nous avons apporté du moins une activité pieuse à recueillir les matériaux qu'il avait laissés pour son Rapport sur tous les arts céramiques; nous les faisons compléter par un habile suppléant (1). Ainsi, nous n'aurons pas tout perdu de la collaboration d'un si célèbre et si regrettable collègue.

>> Des difficultés singulières se présentaient à vaincre au sujet des Gobelins. Le jury des beaux-arts n'en avait pas voulu juger les œuvres, parce que c'étaient des tissus; d'un autre côté, le jury des lainages les récusait à titre d'objets d'art. Enfin, quelles inventions récentes pouvaient présenter ces Gobelins qui, dès le temps de Colbert et de Louis XIV, avaient atteint toutes les perfections qui devaient ne pas compter suivant la jurisprudence industrielle des représentants de Manchester, de Nottingham et de Glasgow !

>> Heureusement, encore, les Gobelins possédaient un successeur des Berthollet et des Chaptal, qui faisait partie du jury. M. Chevreul avait inventé, avait appliqué dans cet établissement sa théorie du contraste et de l'harmonie des couleurs. Il avait classé, mesuré les gradations infinies de la lumière, par son cercle chromatique. Au moyen de ce cercle ingénieux,

(1) M. Salvétat.